La Résonance (2)

Kesako ?La résonance n'est qu'une réponse particulièrement importante du bidule— pardon, système — étudié à une excitation (rappel : force qui peut être d'origine vibratoire, c'est-à-dire tout simplement périodique).

Comment apparaît cette réponse si importante ? Avant de répondre techniquement, voyons une illustration avec un système simple : un bi…non… un PENdule; on prendra une balançoire pour être plus concret.

Imaginons que vous voulez aider pour la première fois un enfant à se balancer.

Vous allez rapidement comprendre qu'il faut attendre que la balançoire soit à l'apogée de sa trajectoire pour donner une simple petite poussée qui fera que la balançoire oscille de plus en plus.
S'il vous prenait l'idée de vouloir pousser avant, il vous faudrait beaucoup plus de force (car vous devrez lutter contre la remontée avant de pouvoir initier la descente).

En fait, vous venez de déterminer la fréquence idéale (l'intervalle de temps entre 2 poussées dans ce cas) pour que l'amplitude du système augmente facilement.

Précisons au passage que c'est avec cette méthode que les oscillations du pendule de Foucault sont entretenues par un dispositif electromagnétique

C'est ce que l'on appelle logiquement une « fréquence naturelle » du système ; les structures ont quasiment toujours de nombreuses fréquences naturelles de ce type.

L'animation précédente par exemple montre 3 modes de résonance d'une chaîne dont on tient un bout (cliquez sur l'animation pour voir les modes successifs). Vous pouvez vous amusez à les reproduire à l'aide d'une trentaine de trombones attachés.

La résonance relève ainsi de ce concept : des impulsions, même faible mais à des fréquences bien déterminées sur la balancoire font que vous pouvez envoyer l'enfant dans l'arbre !

StructuresLors d'une excitation, des oscillations se propagent dans la structure et rebondissent sur les bords.

Comme les vagues sur la mer, les vagues peuvent se croiser sans s'influencer mais il peut arriver à certaines fréquences (rappel : les fréquences naturelles) que ces vibrations se combinent après avoir rebondi sur des bords opposées.

Elles deviennent alors des ondes stationnaires, c.a.d qu'elles ne se propagent alors plus mais oscillent sur place dans la structure. Sur l'animation ci-contre (à agrandir pour la déclencher), on voit un exemple simple de la manière dont se produit cette conjugaison (en Noir) à cause de la rencontre de 2 ondes sinusoidales (rouge et verte) se propageant en sens inverse : la résultante est bien stationnaire et d'amplitude double au moment où les ondes rouges et vertes sont en phase.

MODE
 “ Top modAl !  ”

A ce moment là et pour des fréquences données, on appelle ces mouvements (appelées "réponses" dans le jargon technique) de la structure des MODES (de déformation), ou encore des DEFORMEES.

Dans un mode (rappel : donc pour une fréquence donnée), il existe des noeuds, soit des points (ou lignes si la structure est 3D) où la déformation de la structure est inexistante (on les a noté également sur l'animation 2D précédente : les points N sont signalés) ainsi que des ventres, soit des maximums d'amplitude de la déformation.
Donc, à un mode correspond une fréquence ; si un premier mode a sa fréquence qui est un multiple de la fréquence d'un premier mode de fréquence la plus basse, ( ex : 440 Hz et 2640 Hz = 6* 440), on les appelle des « harmoniques » du « fondamental ».

Ces modes de déformation dépendent de plusieurs paramètres pour un système donné :

Pour une corde de guitare par exemple, les résonances vont dépendre du type de matériau, de la longueur, de la tension et de la position de votre doigt sur la corde.

En posant les doigts vous ne faîtes rien d'autre que d'imposer les noeuds de vibration.

On voit pourquoi on dit les structures excitées tendent à se placer sur les fréquences naturelles.

Ce qui fait que la vibration n'atteigne au bout du compte un infini d'amplitude est l'amortissement heureusement présent dans tout système (sauf cas extrèmes relevant de la mécanique quantique non abordés ici).

Expérimentalement, on peut déjà bien détecter les noeuds de vibrations d'une structure…plane.

Il suffit simplement de saupoudrer du sable sur la surface de la structure.

Sur l'animation ci-contre, on voit s'exprimer les noeuds de différents modes de plaques (et donc différentes fréquences de résonance).

Et oui, lorsque l'on fait vibrer la structure (historiquement avec un archet de violon, maintenant avec une enceinte sonore) pour exciter un de ses modes en particulier, le sable va avoir tendance à se placer aux endroits où ça bouge le moins, les noeuds.

On obtient alors ce que l'on nomme les figures de Chladni.

haut

IllustrationUn système assez simple qui résonne est le diapason.

DIAPASON
 “ un plongeoir ? ”

Le diapason typique doit donner le « La » standard, qui correspond en musique à 440 Hz (New-Toon a une fâcheuse tendance à théoriser ce qui est poétique ou artistique mais après tout, c'est un robot...).

Vous comprenez maintenant que le système « diapason » est conçu dans le seul but de résonner à 440 Hz (pour le diapason standard) et de le faire savoir acoustiquement (pour l'entendre à l'oreille et pas seulement en vibrant).

C'est pour cette raison qu'il a deux branches : elles vont vibrer un peu comme le plongeoir dans une piscine après un saut.

Seulement, une structure résonne souvent à plusieurs fréquences différentes et un coup très bref sur le diapason fait que toutes les fréquences sont stimulées au départ.

Vous voyez sur la gauche le mode correspondant au son aigu qui est émis lors du choc sur le diapason à 2640 Hz (on peut néanmoins éviter sa présence en frappant sur son genou). Le premier son aigu n'est en effet qu'un harmonique à 6 x 440 Hz ( = 2640 Hz). Avec les animations qui suivent, vous allez voir concrètement les 2 modes de vibrations responsables des 2 sons.

Il y a en effet 2 modes puissants qui se révèlent acoustiquement (les autres modes ne s'entendent pas vraiment): si on frappe le diapason, on entend immédiatement un bruit très aigu qui s'atténue en quelques secondes (écouter la vidéo précédente) mais tous les musiciens vous le diront : ce n'est pas le LA !!!

Fourche de vélo

Peut être utilisé comme diapason : le fondamental aux branches et un harmonique à la fourche

Pour entendre le LA, vous devez porter le diapason à l'oreille (ou placer le diapason debout sur un objet comme une table qui va elle même résonner) : un son plus grave se fait entendre. Voici un lien vers une  Vidéo (pop-up)  présentant les 2 sons d'un diapason correspondant à 2 modes vibratoires.
 Attention  : ne marche bien que sur IE (plante sur Netscape)

Voici maintenant une animation montrant le mode de déformation correspondant au LA à 440 Hz.

Précisions : par souci de simplification, on a tout ramené sur un plan (mouvements gauche-droite) mais les branches du diapason ont également des mouvements d'avant-arrière.

C'est ce qui fait d'ailleurs qu'en faisant tourner le diapason sur son axe tout en le maintenant près de l'oreille on perçoit des zones de silence ! En réalité les ondes émises longitudinalement et perpendiculairement au plan du diapason s'interceptent et comme elles sont de phases opposées, elles s'annulent ! (comme le feraient des vagues sur la surface de l'eau après reflexion sur le bord).
Donc Il faut retenir que les 2 modes sont bien entendu conjugés dans la réalité (avec même beaucoup d'autres inaudibles) ! Enfin, les mouvements des animations sont exagérées en amplitude.

Voilà pour le riche exemple du diapason.

Si identiques

Si vous n'avez que 2 même diapasons Enroulez un élastique autour d'une des 2 branches d'1 diapason

Note: profitons de l'occasion pour évoquer le phénomène de battements. Prenez 2 diapasons de fréquences très proches (quelques Hz) et frappez les en même temps.
Vous obtiendrez un son pur dont l'intensité va monter et décroitre. Si les fréquences sont trop éloignées, vous n'obtiendrez qu'un mélange de 2 sons purs distincts.

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