Milieux granulaires
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La Statique : empilements
PréambuleA la première question sur le nombre de grains nécessaire pour obtenir un tas, on va vous décevoir mais il n'y a pas de réponse nette.
Repos sergent !
Temps Imparti
Oeuvre d'art
Tout dépend de ce que l'on veut obtenir comme tas. En tout cas, on regarde les ensembles de particules suffisamment grandes pour ne pas être sensibles à l'agitation thermique (comme le sont, au contraire, les fameux pollens de Robert Brown).
On parle souvent de poudres pour des grains de taille 1 micromètre ↔ 100 micromètres, et de granulaires seulement pour des tailles plus grandes.
On va aborder dans un premier temps la science des empilements. J'espère que vous aimez les oranges 
…
De nombreux scientifiques (y compris Newton) ont cherché de savoir comment empiler au mieux des grains car ils s'intéressaient aux cristaux, si bien ordonnés.
A cet effet, ils ont pris comme hypothèse simplificatrice de n'avoir que des sphères indéformables et de même taille.
On utilise ainsi des billes simples.
Il existe plusieurs manières de les ordonner dans l'espace et des animations sont nécessaires pour bien visualiser en 3D les 2 méthodes les plus « mathématiques ».
Auparavant, on va exposer quelques concepts intéressants de statique pour répondre à la question de l'introduction : Comment empiler les oranges pour qu'elles tiennent le moins de place ? (si vous trouvez cette partie trop ardue techniquement, vous pouvez la "zapper")
Concepts
Compacité / porosité
Dans un tas de billes, on a forcément de la matière solide (billes elles-même) et de l'espace entre chaque bille (cet espace est rempli par un fluide : l'air dans notre cas mais dans la réalité ce peut-être de l'eau ou du pétrole entre chaque grains…).
Dans un volume donné comprenant des grains, la compacité est la portion (en %) de matière solide des grains, tout simplement. La porosité, c'est l'inverse ! (portion de trous entre chaque grain)Pavage (appelé aussi « Réseau »).
Le pavage désigne la méthode choisi d'empilement des sphères.
Coordinence (appelé aussi "nombre calins", la science peut-être affecteuse
). Derrière ce mot peu clair on définit le nombre de contacts qu'à une sphère avec toutes les voisines, d'où les "calinous".
haut
2 Méthodes 2DIl existe 2 méthodes de pavages 2D.
Triangulaire-Carré
Empilement triangulaire
Pour bien le réaliser, il faut prendre les centres de gravité de chaque sphère. On forme un pavage de telle sorte que si on prend trois billes en contact, leurs 3 centres de gravité forment nécessairement un triangle équilatéral. La coordinence est de 6.
Empilement carré
C'est très simple, on met une boule à chaque coin du carré. La coordinence est de 4. Remarquons que ce pavage est moins stable et intuitivement moins compact que le pavage triangulaire mais si les billes sont disposées dans un récipient carré ou rectangulaire, il faudra bien que ce pavage existe aux coins !
2 Méthodes 3DVoyons maintenant ce qui se passe en 3 D à partir de l'empilement le plus stable (triangulaire).
Il existe 2 pavages classiques permettant une périodicité. Il faut alterner les positions entre chaque couche : pour les réaliser, 3 couches sont nécessaires.
Les animations 3D ci-dessous vous montre comment construire ces empilements.
Méthode 1 : l'empilement HC (Hexagonal compact).
Pavage HC
Couche 1 : pavage triangulaire classique de billes de centre A : ce faisant, sélectionnons une bille. On voit qu'il existe des trous entre cette bille et les voisines : 6 trous. On les nomme alternativement B et C.
Couche 2 : on place des billes de telle sorte que l'on met une bille dont le centre A2 va aller au dessus d'1 trou sur 2 de la couche 1 : au dessus de tous les trous B par ex (on aurait pu prendre tous les trous C à la place bien sur).
Couche 3 : on place la troisième couche exactement comme la couche 1, c'est-à-dire que les centres A des billes de la couche 3 sont au dessus des centres A de la couche 1
Méthode 2 : l'empilement CFC (cubique à face centrées).
Les couches 1 et 2 sont indentiques à l'hexagonal compact.
Empilement compact
avec bullesCette fois-ci, on place les billes de la couche 3 de telle façon que les centres A3 des billes soient au-dessus des trous C de la couche 1.
On l'appelle cubique à face centrées, CFC, car si on prend une bille au hasard au milieu de ce pavage, on peut dessiner un cube avec un centre de bille à chaque coin et la bille sélectionnée au centre de ce cube.
Cette bille sélectionnée au hasard est en contact avec 12 billes : la coordinence est de 12.
Ce modèle est a priori théoriquement le plus compact en 3D et un idéal de rangement (rappel : avec des billes de même taille).
C'est ce qu'a trouvé le célèbre Kepler (il s'intéressait à l'empilement non pas de fruits mais à un aspect plus martial : aux boulets de canon !) : c'est la fameuse "conjecture de Kepler".
Gauss a en effet montré que le CFC est la disposition la plus dense si l'empilement est ordonné.
ConjectureHilbert a rangé la conjecture de Kepler
comme 1 des grands problèmes de maths.
Démontrée à… 99% en 1998.
(démo très très indigeste)Par contre, si le processus comporte une partie aléatoire, tout ce que l'on a pu démontrer mathématiquement est que l'on ne peut certes pas dépasser 0.7796...
Bref, sa compacité théorique (impossible à atteindre) est de 74 %
Si vous jetez des billes au hasard dans un récipient, vous obtiendrez une compacité autour des 60 % et vous aurez beau chercher à les ranger soigneusement, on vous assure que votre idéal restera le 74% !
HC / CFC
Comment améliorer la compacité rapidement de billes jetées dans un récipient ?
Vous le savez bien : en secouant, en faisant vibrer et en tassant !
Cependant, au mieux, vous n'atteindrez que 64 % (toutes les expériences butent sur cette limite).
En effet, en faisant vibrer ou en tassant le tas, vous arranger les sous-systèmes instables dans le tas.
Le problème, c'est que le tassement a ses limites : des études ont rapidement montré que les contraintes que vous exercez en tassant suivent des chemins précis qui épargnent nombre de grains !
Vous pouvez vous retrouver avec des « poches » de grains « intouchables » et qui pourraient être arrangés pourtant.
On a vu que le CFC est le plus compact. Maintenant, il ne peut être totalement adapté en cas de récipient carré.
Ce qui se manifeste dans le cas ou on range en CFC dans une boîte carré est qu'il se produit des dislocations dans les lignes.
Vous suivez les lignes bien rangées et tout d'un coup, il y a un décalage.
Le saviez-vous ? :
Voulez-vous connaître pourquoi on frappe un métal dans les forges ? Et comment font les "tordeurs de cuillères" ? .
Voir actualité Imaginascience.
Ce phénomène est également constaté au niveau atomique (avec des microscopes électroniques) dans les métaux et cristaux.
Note : tout ce que l'on a vu concernait l'arrangement de spheres.
On peut en fait atteindre une compacité supérieure en utilisant d'autres formes géométriques, des sphéroïdes (des sphères "écrasées et allongées" un peu comme des galets ) par exemple.
Dans un récipient, des M&m's tiendront moins de place que des billes de même taille.
Pour plus de détails, voir le résultat d'une étude à Princeton (pop-up en anglais, format PDF).
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On peut dépasser la compacité max |
Un arrangement en utilisant un ordonnancement fractal est un procédé utilisé pour obtenir de meilleurs bétons ( appelés hautes performances).
En effet, le béton est un mélange de graviers (les grains) et de ciment (le liant). En mélangeant des graviers de différentes tailles bien calibrés, on diminue la porosité globale et on augmente la résistance du matériau.
Idéalement, pour obtenir le meilleur béton du monde permettant la construction d'immeubles de plusieurs kilomètres de haut, il faudrait ne laisser quasiment aucun espace entre les grains (travaux en cours) !
Vous voulez en savoir davantage ? : allez à la » » » » page suivante
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